Question

2．如图，已知平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF是正方形，四边形ABCD是菱形，且BC=2，∠BAD=60°，点G，H分别为边CD，DA的中点，点M是线段BE上的动点．
（Ⅰ）求证：GH⊥平面BDM
（Ⅱ）求三棱锥D-MGH的体积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC交BD于点O．则BE⊥AB．再由已知结合面面垂直的性质可得BE⊥平面ABCD，进一步得到BE⊥AC．由四边形ABCD为菱形，得BD⊥AC．由面面垂直的判定可得AC⊥平面BDM．由三角形中位线定理得GH∥AC，则GH⊥平面BDM；
（Ⅱ）在菱形ABCD中，利用正弦定理求得三角形DGM的面积，由图可得当点M与点E重合时，BM取最大值2，代入三棱锥体积公式求得三棱锥D-MGH的体积的最大值．

解答 （Ⅰ）证明：连接AC交BD于点O．
∵四边形ABEF为正方形．∴BE⊥AB．
又∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB．
∴BE⊥平面ABCD．
又AC?平面ABCD，∴BE⊥AC．
∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC．
∵BD∩BE=B，∴AC⊥平面BDE，即AC⊥平面BDM．
∵G、H分别为DC、AD的中点，∴GH∥AC，
∴GH⊥平面BDM；
（Ⅱ）解：在菱形ABCD中，
由∠BAD=60°，得∠ADC=120°．
又∵DG=DH=1，∴${S}_{△DGM}=\frac{1}{2}DG•DH•sin120°=\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∵BE⊥平面ABCD，即BM⊥平面ABCD，
∴${V}_{D-MGH}={V}_{M-DGH}=\frac{1}{3}{S}_{△DGH}•BM=\frac{\sqrt{3}}{12}BM$．
显然，当点M与点E重合时，BM取最大值2，
此时$（{V}_{D-MGH}）_{MAX}=\frac{\sqrt{3}}{12}×2=\frac{\sqrt{3}}{6}$，
即三棱锥D-MGH的体积的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．