Question

13．已知数列1-b≥0满足S_n+a_n=2n，n∈N^*，其中S_n是数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）计算a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件直接计算a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）猜想a_n的表达式，用数学归纳法证明步骤，逐步证明猜想成立即可．

解答 解：（Ⅰ）计算得：a₁=1，a₂=$\frac{3}{2}$，a₃=$\frac{7}{4}$，a₄=$\frac{15}{8}$，…（4分）
（Ⅱ）猜想a_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$．…（6分）
证明：?当n=1时，计算的a₁=1=$\frac{{2}^{1}-1}{{2}^{1-1}}$，猜想成立；                  …（7分）
?假设当n=k（k≥1）时猜想成立，即a_k=$\frac{{2}^{k}-1}{{2}^{k-1}}$，…（8分）
则当n=k+1时，S_k=2k-a_k，S_k+1=2（k+1）-a_k+1，
所以a_k+1=S_k+1-S_k=2（k+1）-a_k+1-2k+a_k，
=2+a_k-a_k+1所以a_k+1=1+$\frac{{a}_{k}}{2}$=1+$\frac{{2}^{k}-1}{{2}^{k}}$=$\frac{{2}^{k+1}-1}{{2}^{k+1-1}}$，
所以当当n=k+1时，猜想也成立．…（11分）
综合??可知：猜想a_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$，n∈N^*，成立．…（12分）

点评 本题考查数学归纳法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．