Question

11．已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（Ⅰ）设不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程；
（Ⅱ）从圆C外一点P（x，y）向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，|MP|=|OP|，求点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 （ I）通过切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，设直线方程x+y=a，求出圆的圆心与半径，利用相切关系列出方程求解即可．
（ II）利用已知条件，切线PM与半径CM垂直，通过PM|²=|PC|²-|CM|²=|OP|²，求解点P的轨迹方程为2x-4y+3=0．

解答 解：（ I）∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，
设直线方程x+y=a，
∵由圆C：x²+y²+2x-4y+3=0，得：（x+1）²+（y-2）²=2，
∴圆心坐标C（-1，2），半径r=$\sqrt{2}$，
∴圆心C（-1，2）到切线的距离等于圆半径$\sqrt{2}$，
即：$\frac{|-1+2-a|}{\sqrt{2}}$
∴a=-1或a=3，
所求切线方程为：x+y+1=0或x+y-3=0；
（ II）设点P（x，y），
∵切线PM与半径CM垂直，
∴|PM|²=|PC|²-|CM|²=|OP|²
∴（x+1）²+（y-2）²-2=x²+y²
所以点P的轨迹方程为2x-4y+3=0．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，轨迹方程的求法，考查计算能力．