题目内容

12．某学校为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图1）和女生身高情况的频率分布直方图（图2）．已知图1中身高在170～175cm的男生人数有16人．

（1）根据频率分布直方图，完成下列的2×2列联表，并判断能有多大（百分比）的把握认为“身高与性别有关”？
≥170cm＜170cm总计
男生身高
女生身高
总计
（2）在上述80名学生中，从身高在170-175cm之间的学生按男、女性别分层抽样的方法，抽出5人，从这5人中选派3人当旗手，求3人中恰好有一名女生的概率．
参考公式及参考数据如下：${k^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$
P（K2≥k0）0.0250.6100.0050.001
k05.0244.6357.87910.828

分析 （1）计算男生、女生人数，求出2×2列联表中对应的数据，计算观测值，对照临界值得出结论；
（2）按分层抽样方法抽出男生、女生人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．

解答 解：（1）男生人数：$\frac{16}{0.08×5}=40$，女生人数：80-40=40，
男生身高≥170cm的人数=（0.08+0.04+0.02+0.01）×5×40=30，
女生身高≥170cm的人数0.02×5×40=4，
所以可得到下列2×2列联表：

≥170cm＜170cm总计
男生身高301040
女生身高43640
总计344680
----------------（2分）
计算观测值${K^2}=\frac{{80×{{（{30×36-10×4}）}^2}}}{40×40×34×46}≈$34.58＞10.828，----------------（5分）
所以能有99.9%的把握认为身高与性别有关；----------------（6分）
（2）在170-175cm之间的学生男生有16人，女生人数有4人；
按分层抽样的方法抽出5人，则男生占4人，女生占1人；
设男生为A1，A2，A3，A4，女生为B；
从5人任选3名有：（A1，A2，A3），（A1，A2，A4），（A1，A2，B），
（A1，A3，A4），（A1，A3，B），（A1，A4，B），
（A2，A3，A4），（A2，A3，B），（A2，A4，B），
（A3，A4，B），共10种可能，
3人中恰好有一名女生有：（A1，A2，B），（A1，A3，B），（A1，A4，B），
（A2，A3，B），（A2，A4，B），（A3，A4，B）共6种可能，
故所求概率为P=$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．----------------（12分）

点评 本题考查了独立性检验和用列举法求古典概型的概率问题，是中档题．

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