Question

7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且2a cosC-c=2b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若c=$\sqrt{2}$，角B的平分线BD=$\sqrt{3}$，求∠ADB和BC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正弦定理和两角和的正弦公式即可得到cosA=-$\frac{1}{2}$，问题得以解决，
（Ⅱ）根据正弦定理和余弦定理即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）2acosC-c=2b⇒2sinAcosC-sinC=2sinB，
2sinAcosC-sinC=2sin（A+C）=2sinAcosC+2cosAsinC⇒-sinC=2cosAsinC，
∵sinC≠0，
∴$cosA=-\frac{1}{2}$，
而A∈（0，π），
∴$A=\frac{2π}{3}$；
（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理得，$\frac{AB}{sin∠ADB}=\frac{BD}{sinA}⇒sin∠ADB=\frac{AB•sinA}{BD}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
∴$∠ADB=\frac{π}{4}$，
∴$∠ABC=\frac{π}{6}，∠ACB=\frac{π}{6}，AC=AB=\sqrt{2}$
由余弦定理，$a=BC=\sqrt{A{B^2}+A{C^2}-2AB•AC•cosA}=\sqrt{6}$．

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理和两角和正弦公式，考查了学生的运算能力，属于中档题