Question

17．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sin\frac{π}{k}x（k＞0）$图象上相邻的最大值点和最小值点都在曲线x²+y²=k²上，则f（x）的最小正周期为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 由题意，f（x）的图象上相邻的最大值点和最小值点都在曲线x²+y²=k²上，可知最大值和最小值的距离为曲线圆的直径．可得k的值，即可得f（x）的最小正周期．

解答 解：由题意，函数$f（x）=\sqrt{3}sin\frac{π}{k}x（k＞0）$，其周期T=$\frac{2π}{\frac{π}{k}}=2k$．
f（x）的图象上相邻的最大值点和最小值点都在曲线x²+y²=k²上，
可知最大值和最小值的距离为曲线圆的直径．即2r=2k．
∵最大值点和最小值点的纵坐标距离为2$\sqrt{3}$，横坐标距离为$\frac{1}{2}$T，
∴12+$\frac{{T}^{2}}{4}$=（2k）²，即12+k²=4k²．
∴k=2
周期T=$\frac{2π}{\frac{π}{k}}=2k$=4．
故选A．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，属于基础题．