题目内容
已知y=f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，在区间[0，1）上是减函数，且f（1-a）+f（1-a2）＜0，求实数a的取值范围．
考点：函数奇偶性的性质
专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用
分析：根据题意，将f（1-a）+f（1-a2）＜0变形为f（1-a）＜-f（1-a2），又因为f（x）是奇函数，原不等式又可变形为f（1-a）＜f（a2-1），结合f（x）是减函数，可得1-a＞a2-1；再由函数的定义域为（-1，1），可得-1＜1-a＜1，-1＜1-a2＜1，解可得a的取值范围，即得答案．
解答：
解：根据题意，∵f（1-a）+f（1-a2）＜0，
∴f（1-a）＜-f（1-a2），
又∵f（x）是奇函数，则-f（1-a2）=f（a2-1），
∴f（1-a）＜f（a2-1），
又∵f（x）在区间[0，1）上是减函数，
则f（x）在（-1，1）上是减函数，
∴有1-a＞a2-1；
又∵函数的定义域为（-1，1）；
∴-1＜1-a＜1，-1＜1-a2＜1；
综合有
，解可得0＜a＜1；
故a的取值范围为（0，1）．
∴f（1-a）＜-f（1-a2），
又∵f（x）是奇函数，则-f（1-a2）=f（a2-1），
∴f（1-a）＜f（a2-1），
又∵f（x）在区间[0，1）上是减函数，
则f（x）在（-1，1）上是减函数，
∴有1-a＞a2-1；
又∵函数的定义域为（-1，1）；
∴-1＜1-a＜1，-1＜1-a2＜1；
综合有
|
故a的取值范围为（0，1）．
点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，解答的易错点为忽略函数的定义域，而只解“1-a＞a2-1”一个方程．
练习册系列答案
相关题目
在下面四个图中，有一个是函数f（x）=
x3+ax2+(a2-1)x+1（a∈R，a≠0）的导函数f′（x）的图象，则f（-1）等于（ ）
| 1 |
| 3 |
A、
| ||||
B、-
| ||||
C、
| ||||
D、-
|