Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点B（0，-1），且其右焦点到直线x-y+2

2

=0的距离为3．设一直线过定点Q（

3

m，m）m∈R，与椭圆恒有两个不同交点，求实数m的范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知条件推导出b=1，

|c+2 2 |

2

=3，求出椭圆的方程，利用直线过定点Q（

3

m，m）m∈R，与椭圆恒有两个不同交点，可得Q在椭圆的内部，即可求实数m的范围．

解答： 解：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点B的坐标是（0，-1），
∴b=1，
∵右焦点Q到直线x-y+2

2

=0的距离为3．
设Q（c，0）（c＞0），∴

|c+2 2 |

2

=3，解得c=

2

，
∴a²=b²+c²=3，
∴椭圆的方程：

x2

3

+y²=1．
∵直线过定点Q（

3

m，m）m∈R，与椭圆恒有两个不同交点，
∴Q在椭圆的内部，
∴2m²＜1，
∴-

2

2

＜m＜

2

2

，

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．