Question

已知函数f（x）=ax²+bx-lnx（a＞0，b∈R）．
（Ⅰ）设a=1，b=-1，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与-2b的大小．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数单调性的性质

专题：导数的综合应用

分析：（I）a=1，b=-1时，f（x）=x²-x-lnx（x＞0），可得f′(x)=2x-1-

1

x

=

(2x+1)(x-1)

x

．分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出．
（II）f′（x）=2ax+b-

1

x

=

2a(x+ b+ b2+8a 4a )(x- -b+ b2+8a 4a )

x

（a＞0），令f′（x）=0，解得x=

b2+8a -b

4a

．利用单调性可得当x=

b2+8a -b

4a

时，函数f（x）取得最小值．由于对任意x＞0，f（x）≥f（1）．可得1=

b2+8a -b

4a

，化为2a+b=1．作差可得lna-（-2b）=lna+2-4a=g（a）．（a＞0）．利用导数研究其单调性极值即可得出．

解答： 解：（I）a=1，b=-1时，f（x）=x²-x-lnx（x＞0），
∴f′(x)=2x-1-

1

x

=

(2x+1)(x-1)

x

．
令f′（x）=0，解得x=1；令f′（x）＞0，解得x＞1；令f′（x）＜0，解得1＞x＞0．
∴函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）．
（II）f′（x）=2ax+b-

1

x

=

2ax2+bx-1

x

=

2a(x+ b+ b2+8a 4a )(x- -b+ b2+8a 4a )

x

（a＞0），
令f′（x）=0，解得x=

b2+8a -b

4a

．
当x＞

b2+8a -b

4a

时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当0＜x＜

b2+8a -b

4a

时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
∴当x=

b2+8a -b

4a

时，函数f（x）取得最小值．
∵对任意x＞0，f（x）≥f（1）．
∴1=

b2+8a -b

4a

，化为2a+b=1．
lna-（-2b）=lna+2-4a=g（a）．（a＞0）．
∴g′（a）=

1

a

-4=

1-4a

a

，
令g′（a）=0，解得a=

1

4

；令g′（a）＞0，解得0＜a＜

1

4

；令g′（a）＜0，解得a＞

1

4

．
∴当a=

1

4

时，函数g（a）取得最大值．
g(

1

4

)=ln

1

4

+2-4×

1

4

=-ln4＜0，
∴lna＜-2b．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．