Question

在下面四个图中，有一个是函数f（x）=

1

3

x3+ax2+(a2-1)x+1（a∈R，a≠0）的导函数f′（x）的图象，则f（-1）等于（　　）

• A、

  1

  3

• B、-

  1

  3

• C、

  7

  3

• D、-

  1

  3

  或

  5

  3

Answer 1

考点：函数的图象,导数的运算

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：求出导函数，据导函数的二次项系数为正得到图象开口向上；利用函数解析式中有2ax，故函数不是偶函数，得到函数的图象．

解答： 解：∵f′（x）=x²+2ax+（a²-1），
∴导函数f′（x）的图象开口向上．
又∵a≠0，
∴f′（x）不是偶函数，其图象不关于y轴对称
其图象必为第四张图．由图象特征知f′（0）=0，∴a²-1=0，
且对称轴-a＞0，
∴a=-1．
∴函数f（x）=

1

3

x³-x²+1，
故答案为f（-1）=-

1

3

-1+1=-

1

3

，
故选：B．

点评：本题考查函数与其导函数的综合应用，三次函数与其导函数（二次函数）的关系，综合考查二次函数的应用．