Question

倾斜角为

π

4

的直线L经过抛物线E：y=

1

4p

x²（P＞0）的焦点F，直线L与抛物线E在第二象限的交点为A，与抛物线E只有一个公共点A的直线经过点（2-2

2

，0），则P=

 

．

Answer 1

考点：抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：直线L的方程为y=x+p，联立

y=x+p x2=4py

，得x²-4px-4p²=0，解得x=2p±2

2

p，由此能求出p=1．

解答： 解：∵抛物线E：y=

1

4p

x²（P＞0）的标准方程为x²=4py，p＞0
∴抛物线E：y=

1

4p

x²（P＞0）的焦点F（0，p），
∵倾斜角为

π

4

的直线L经过抛物线E焦点F，
∴直线L的方程为y=x+p，
联立

y=x+p x2=4py

，得x²-4px-4p²=0，
∴x=

4p± 16p2+16p2

2

=2p±2

2

p，
∵直线L与抛物线E在第二象限的交点为A，
与抛物线E只有一个公共点A的直线经过点（2-2

2

，0），
∴A（2-2

2

，y_A），∴p=1．
故答案为：1．

点评：本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线的简单性质的灵活运用．