Question

已知数列{a_n}，{b_n}中，对任意n∈N^*都有：a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ+1．
（1）若数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是否为等比数列？若是，请求出通项公式，若不是，请说明理由；
（2）求证：

n

i=1

1

a ibi

＜

3

2

．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）根据条件，再写一式，两式相减，写出等差数列的通项_n=a₁+（n-1）d，从而可得数列{b_n}的通项，利用数列{b_n}是等比数列，确定条件，从而可得结论；
（2）

n

i=1

1

a ibi

=

1

1×1

+

1

2×2

+…+

1

n×2n-1

，利用放缩法，结合等比数列的求和公式，即可证得结论．

解答： （1）解：依题意，由a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ+1，
可得a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=（n-2）•2^n-1+1（n≥2），
两式相减可得a_nb_n=n•2^n-1，
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则a_n=a₁+（n-1）d
∵a_nb_n=n•2^n-1，
∴b_n=

n•2n-1

a1+(n-1)d

（n≥2）
∴b_n=

2n-1

a1-d n +d

若数列{b_n}是等比数列，则a₁=d≠0
∴a₁=d≠0时，数列{b_n}是等比数列，b_n=

2n-1

d

；a₁≠d时，数列{b_n}不是等比数列；
（2）证明：由（1）知a_nb_n=n•2^n-1，n=1，2时，结论成立．
∴

n

i=1

1

a ibi

=

1

1×1

+

1

2×2

+…+

1

n×2n-1

＜

1

1×1

+

1

2×2

+…+

1

2×2n-1

（n≥3）
=1+

1

4

+

1

8

×

1-( 1 2 )n-2

1- 1 2

≤1+

1

4

+

1

4

=

3

2

．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查不等式的证明，正确运用等差数列与等比数列的通项是关键．