题目内容
已知平面向量
与
不共线，若存在非零实数x，y，使得
=
+2x
，
=-y
+2（2-x2）
．
（1）当
=
时，求x，y的值；
（2）若
=（cos
，sin(-
)），
=（sin
，cos
），且
⊥
，试求函数y=f（x）的表达式．
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| d |
| a |
| b |
（1）当
| c |
| d |
（2）若
| a |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| b |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| c |
| d |
考点：平面向量数量积的运算,平行向量与共线向量
专题：平面向量及应用
分析：（1）由条件得：（1+y）
+（2x-4+2x2）
=
，∵向量
与
不共线，故
，解之即可；
（2）由条件可求|
|=|
|=1，
•
=0，
•
=（
+2x
）•[-y
+(4-2x2)
]=-y
2-2xy
•
+（4-2x2）
•
+2x（4-2x2）
2=-y+2x（4-2x2）=0，移项可得y的解析式．
| a |
| b |
| 0 |
| a |
| b |
|
（2）由条件可求|
| a |
| b |
| c |
| d |
| c |
| d |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| a |
| b |
| b |
解答：
解：（1）由条件得：
+2x
=-y
+(4-2x2)
，
∴（1+y）
+（2x-4+2x2）
=
，
∵向量
与
不共线，
∴
，解得y=-1，x=1或x=-2．
（2）∵
•
=cos
sin
+sin（-
）cos
=0，∴
⊥
又∵
⊥
，∴
•
=0，又由条件可知，|
|=|
|=1
∴
•
=（
+2x
）•[-y
+(4-2x2)
]
=-y
2-2xy
•
+（4-2x2）
•
+2x（4-2x2）
2
=-y+2x（4-2x2）=0，∴y=8x-4x3，
即f（x）=8x-4x3
| a |
| b |
| a |
| b |
∴（1+y）
| a |
| b |
| 0 |
∵向量
| a |
| b |
∴
|
（2）∵
| a |
| b |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| a |
| b |
又∵
| c |
| d |
| c |
| d |
| a |
| b |
∴
| c |
| d |
| a |
| b |
| a |
| b |
=-y
| a |
| a |
| b |
| a |
| b |
| b |
=-y+2x（4-2x2）=0，∴y=8x-4x3，
即f（x）=8x-4x3
点评：本题为向量和三角函数的综合应用，用好数量积为0与向量垂直的等价关系是解决问题的关键，属中档题．
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| A、1 | B、-1 |
| C、2013 | D、-2013 |
