Question

已知

a

=（sin2x，-y），

b

=（m，-m+cos2x）（m∈R），且

a

+

b

=

0

，设y=f（x）．
（I）求y=f（x）的表达式，并求其对称中心M的坐标；
（II）若对?x∈[0，

π

2

]，f（x）＞t+1恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量的坐标运算,三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：（I）根据

a

+

b

=

0

可得

sin2x+m=0 -y-m+cos2x=0

，然后消去m可得y=f（x）的表达式，求出其对称中性M的坐标即可；
（II）对?x∈[0，

π

2

]，f（x）＞t+1恒成立，只需f（x）_min＞t+1即可，然后研究f（x）的最小值即可求出t的取值范围．

解答： 解：（I）由

a

+

b

=

0

，得（sin2x+m，-y-m+cos2x）=（0，0）
即

sin2x+m=0 -y-m+cos2x=0

消去m得y=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

）
令sin（2x+

π

4

）=0，解得2x+

π

4

=kπ，即x=

1

2

kπ-

π

8

∴对称中心为（

1

2

kπ-

π

8

，0）k∈Z
（II）只需f（x）_min＞t+1即可
由（1）可知f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）
∵x∈[0，

π

2

]∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]
∴-

2

2

≤sin（2x+

π

4

）≤1
∴f（x）_min=

2

×（-

2

2

）=-1
则-1＞t+1，即t＜-2

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，以及三角函数的最值，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．