Question

设A_n为（1+x）ⁿ⁺¹的展开式中含x^n-1项的系数，B_n为 （1+x）^n-1的展开式中二项式系数的和，n∈N^*，则能使A_n≥B_n成立的n的最大值是

 

．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：计算题

分析：由题意可得，A_n=

C

n-1 n+1

=

C

2 n+1

，Bn=2n-1，若使得A_n≥B_n，即n（n+1）≥2ⁿ，可求n

解答： 解：∵（1+x）ⁿ⁺¹的展开式的通项为T_r+1

=C

r n+1

xr
由题意可得，A_n=

C

n-1 n+1

=

C

2 n+1

，Bn=2n-1
∵A_n≥B_n
∴

C

2 n+1

≥2n-1即n（n+1）≥2ⁿ
当n=1时，1×2≥2，满足题意
当n=2时，2×3≥2²，满足题意
当n=3时，3×4≥2³，满足题意
当n=4时，4×5≥2⁴，满足题意
当n=5时，5×6＜2⁵，不满足题意，且由于指数函数比二次函数增加的快
故当n≥5时，n（n+1）＜2ⁿ
∴n=4
故答案为：4

点评：本题主要考查了二项展开式的通项的应用，二项展开式的性质的应用及不等式、指数函数与二次函数的增加速度的快慢的应用．