Question

已知数列{a_n}的各项均不为零，且前n项和为S_n，若对于任意的正整数m，n，恒有（n-m）S_n+m=（n+m）（S_n-S_m）．
（1）求

S3

a2

的值；
（2）求证：数列{a_n}为等差数列；
（3）若a_p，a_q，a_r，a_s成等比数列，且a₁≠a₂，求证：q-p，r-q，s-r成等比数列．

Answer 1

考点：等比关系的确定,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由对于任意的正整数m，n，恒有（n-m）S_n+m=（n+m）（S_n-S_m）．令m=1，n=2，可得S₃=3a₂，进而得到答案；
（2）令m=1，则（n-1）S_n+1=（n+1）（S_n-S₁），可得a_n+3-a_n+2=a_n+2-a_n+1，结合（1）中结论得到a₂-a₁=a₃-a₂也成立，则a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，即数列{a_n}为等差数列；
（3）数列{a_n}的公差不为零且a_p，a_q，a_r，a_s成等比数列，可得

aq

ap

=

ar

aq

=

as

ar

，即q-p=r-q=s-r≠0，即q-p，r-q，s-r成等比数列，且公比不为1．

解答： （1）解：∵对于任意的正整数m，n，恒有（n-m）S_n+m=（n+m）（S_n-S_m）．
令m=1，n=2，则S₃=3a₂，
∴

S3

a2

=3
（2）证明：令m=1，则（n-1）S_n+1=（n+1）（S_n-S₁），
∴nS_n+2=（n+2）（S_n+1-S₁），
∴nS_n+2-（n-1）S_n+1=（n+2）（S_n+1-S₁）-（n+1）（S_n-S₁），
∴na_n+2=（n+1）a_n+1-S₁，∴（n+1）a_n+3=（n+2）a_n+2-S₁，
∴（n+1）a_n+3-na_n+2=（n+2）a_n+2-（n+1）a_n+1，
∴a_n+3-a_n+2=a_n+2-a_n+1，又∵S₃=2a₂，
∴a₂-a₁=a₃-a₂，
∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
∴数列{a_n}为等差数列
（3）证明：∵a₁≠a₂，
∴数列{a_n}的公差不为零
∵a_p，a_q，a_r，a_s成等比数列，
∴

aq

ap

=

ar

aq

=

as

ar

记公比为x，则x≠1，且x^q-p=x^r-q=x^s-r
∴q-p=r-q=s-r≠0
∴q-p，r-q，s-r成等比数列，且公比不为1．

点评：本题考查的知识点是等差数列的性质和定义，等比数列的性质和定义，是等差数列与等比数列的综合应用，难度中档．