题目内容
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且tanC+3tanB=0．
（1）求∠A的最大值；
（2）若b2+2a=c2，求a的值．
（1）求∠A的最大值；
（2）若b2+2a=c2，求a的值．
考点：正弦定理
专题：解三角形
分析：（1）由已知化简可得tanA=
≤
，所以有A≤
，即A的最大值为
；
（2）由（1）可求得a+2bcosC=0，又由余弦定理可得2a2+b2-c2=0，结合已知即可求出a的值．
| -2tanC |
| tan2C+3 |
| ||
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
（2）由（1）可求得a+2bcosC=0，又由余弦定理可得2a2+b2-c2=0，结合已知即可求出a的值．
解答：
解：（1）tanC+3tanB=0
⇒sinBcosC+cosBsinC+2sinBcosC=0
⇒sin（B+C）+2sinBcosC=0
⇒sinA+2sinBcosC=0
⇒sinA+2（sinAcosC+cosAsinC）cosC=0
化简整理可得：tanA=
=
=
；
因为tanC＜0，所以：tanA=
≤
，所以：A≤
，即A的最大值为
．
（2）b2+2a=c2…①
而又有（1）得sinA+2sinBcosC=0，
故由正弦定理可知a+2bcosC=0，又cosC=
，
所以得2a2+b2-c2=0…②
由①②联立可解得：a=1．
⇒sinBcosC+cosBsinC+2sinBcosC=0
⇒sin（B+C）+2sinBcosC=0
⇒sinA+2sinBcosC=0
⇒sinA+2（sinAcosC+cosAsinC）cosC=0
化简整理可得：tanA=
| -2sinCcosC |
| 1+2cos2C |
| -2sinCcosC |
| sin2C+3cos2C |
| -2tanC |
| tan2C+3 |
因为tanC＜0，所以：tanA=
| -2 | ||
-(-tanC+
|
| ||
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
（2）b2+2a=c2…①
而又有（1）得sinA+2sinBcosC=0，
故由正弦定理可知a+2bcosC=0，又cosC=
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
所以得2a2+b2-c2=0…②
由①②联立可解得：a=1．
点评：本题主要考察了正弦定理、余弦定理的综合应用，所以中档题．
练习册系列答案
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如图，抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x2+y2=1相切．已知函数f（x）=
，点O为坐标原点，点An（n，f（n））（n∈N*）．若记直线OAn的倾斜角为θn，则tanθ1+tanθ2+…+tanθn=（ ）
| 1 |
| x+1 |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|