Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

3

2

，且内切于圆x²+y²=9．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（1，0）作直线l（不与x轴垂直）与该椭圆交于M，N两点，与y轴交于点R，若

RM

=λ

MQ

，

RN

=μ

NQ

，试判断λ+μ是否为定值，并说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用圆

x

2

+

y

2

=9的直径为6，可得a=3，结合的离心率为

2

3

2

，参数a、b、c的关系即可得出；
（Ⅱ）把直线的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系、向量相等即可证明．

解答： 解：（Ⅰ）因为圆

x

2

+

y

2

=9的直径为6，依题意知2a=6，所以a=3，…（2分）
又因为

c

a

=

2

3

2

，所以c=2

2

，所以b=1，…（5分）
所以椭圆C的方程为

x2

9

+y2=1．…（6分）
（Ⅱ）λ+μ=-

9

4

，即λ+μ为定值．…（7分）
理由如下：
依题意知，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），R（0，y₃），
由

y=k(x-1) x2 9 +y2=1

，消去y并整理，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，
所以x1+x2=

18 k 2

1+9 k 2

①，x1•x2=

9 k 2   -9

1+9 k 2

②，…（9分）
因为

RM

=λ

MQ

，所以（x₁，y₁）-（0，y₃）=λ[（1，0）-（x₁，y₁）]，
即

x1=λ(1-x1) y1-y3=-λy1

，又x₁≠1与x₁≠1轴不垂直，所以x₁≠1，
所以λ=

x1

1-x1

，同理μ=

x2

1-x2

，…（11分）
所以λ+μ=

x1

1-x1

+

x2

1-x2

=

(x1+x2)-2x1•x2

1-(x1+x2)+x1•x2

，
将①②代入上式可得λ+μ=-

9

4

，即λ+μ为定值．…（12分）

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆的相交问题、根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、向量相等是解题的关键．