Question

在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A、B的极坐标分别为(1 ， 

π

3

)、(3 ， 

2π

3

)，曲线C的参数方程为

x=rcosα y=rsinα

(α为参数）．
（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线AB和曲线C只有一个交点，求r的值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：计算题,直线与圆,坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可将A，B化为直角坐标，再由直线方程的形式，即可得到AB的方程；
（Ⅱ）运用同角的平方关系，可将曲线C化为普通方程即为圆，再由直线和圆相切：d=r，即可得到半径r．

解答： 解：（Ⅰ）∵点A、B的极坐标分别为(1 ， 

π

3

)、(3 ， 

2π

3

)，
∴点A、B的直角坐标分别为(

1

2

 ， 

3

2

)、(-

3

2

 ， 

3 3

2

)，
∴直线AB的直角坐标方程为2

3

x+4y-3

3

=0；
（Ⅱ）由曲线C的参数方程

x=rcosα y=rsinα

(α为参数)，化为普通方程为x²+y²=r²，
∵直线AB和曲线C只有一个交点，
∴半径r=

|3 3 |

(2 3 )2+42

=

3 21

14

．

点评：本题考查极坐标和直角坐标的互化，以及极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线和圆的位置关系，考查运算能力，属于基础题．