Question

如图，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，BB₁=2，连结BC₁，过点B₁作BC₁的垂线交CC₁于E．
（1）求证：AC₁⊥平面EB₁D₁；
（2）二面角E-B₁D₁-C₁的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连接A₁C₁，证明AC₁⊥B₁D₁．AC₁⊥B₁E，利用直线与平面垂直的判定定理证明AC₁⊥平面EB₁D₁；
（2）取B₁D₁中点O，连C₁O，EO，说明∠C₁OE为二面角E-B₁D₁-C₁的平面角，通过解三角形即可求解二面角E-B₁D₁-C₁的正切值．

解答： （本题满分12分）第（1）小题（6分），第（2）小题（6分）．
解：（1）证明：连接A₁C₁，由条件得A₁B₁C₁D₁是正方形，因此B₁D₁⊥A₁C₁，
又AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，所以AA₁⊥B₁D₁，因此B₁D₁⊥平面AA₁C₁，
所以AC₁⊥B₁D₁．同理可证：AC₁⊥B₁E．B₁D₁∩B₁E=B₁，
所以AC₁⊥平面EB₁D₁．
（本题可直接用三垂线定理证明，也可以用建立空间直角坐标系证明，请对照给分）
（2）取B₁D₁中点O，连C₁O，EO，显然C₁O⊥B₁D₁，EO，⊥B₁D₁，∴∠C₁OE为二面角E-B₁D₁-C₁的平面角．
可求C1O=

2

2

，C1E=

1

2

，∵∠EC₁O=90°，∴tan∠C1OE=

C1E

C1O

=

1

2

=

2

2

．
（若用建立空间直角坐标系，利用向量计算二面角，请对照给分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．