Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx-4，若x=-

1

3

与x=-1是f（x）的极值点．
（1）求a、b及函数f（x）的极值；
（2）设g（x）=kx²+x-8（k∈R），试讨论函数F（x）=f（x）-g（x）在区间[0，+∞）上的零点个数．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，利用x=-

1

3

与x=-1是f（x）的极值点，可得-

1

3

与-1是方程f′（x）=0的两根，即可求出a、b及函数f（x）的极值；
（2）F（x）=f（x）-g（x）=x³+（2-k）x²+4=0，可得k=x+

4

x2

+2，确定函数的最小值，即可讨论函数F（x）=f（x）-g（x）在区间[0，+∞）上的零点个数．

解答： 解：（1）由题得f′（x）=3x²+2ax+b，
∵x=-

1

3

与x=-1是f（x）的极值点，
∴-

1

3

与-1是方程f′（x）=0的两根，
∴a=2，b=1，
∴f（x）=x³+2x²+x-4，f′（x）=3x²+4x+1
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1， 1 3 ）	- 1 3	（- 1 3 ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）		极大值		极小值

∴当x=-1时，f（x）取得极大值为-4；当x=-

1

3

时，f（x）取得极小值为-

112

27

；
（2）F（x）=f（x）-g（x）=x³+（2-k）x²+4=0，可得k=x+

4

x2

+2，
令h（x）=x+

4

x2

+2，则h′（x）=

(x-2)(x2+2x+4)

x3

∴x＜2时，函数单调递减，x＞2时，函数单调递增，
∴h（x）_min=h（2）=5，
∴k＜5时，函数无零点，k=5时，函数有一个零点；k＞5时，函数有两个零点．

点评：本题考查学生利用导数研究函数的极值能力，利用导数研究函数的单调性的能力，属于中档题．