Question

数列{a_n}中，a₁=2，a_n=a_n-1+2n（n≥2）
（1）求这个数列的通项公式a_n
（2）若{

1

an

}的前n项和为S_n，求出S_n并证明

1

2

≤S_n＜1．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n=a_n-1+2n，得a_n-1=a_n-2+2（n-1），…，a₂=a₁+2•2，利用叠加法能求出a_n=n（n+1）．
（2）由

1

an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项求和法求出Sn=1-

1

n+1

．由此能证明

1

2

≤Sn＜1．

解答： 解：（1）∵a_n=a_n-1+2n，
∴a_n-1=a_n-2+2（n-1），…，a₂=a₁+2•2
将这n-1个式子相加得：a_n=n（n+1）…（4分）
（2）∵

1

an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

…（6分）
∴Sn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

，
∴Sn=1-

1

n+1

．…（8分）
∵n+1≥2，∴0＜

1

n+1

≤

1

2

，
∴

1

2

≤Sn＜1．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意叠加法和裂项求和法的合理运用．