题目内容
若关于x的不等式ax2≥ex的解集中的正整数解有且只有3个，则实数a的取值范围是 ．
考点：函数恒成立问题
专题：计算题,不等式的解法及应用
分析：由题意知a＞0，则ax2≥ex化为a≥
，令f（x）=
，利用导数可求得f（x）的最小值f（2），根据f（x）的单调性和函数值f（1）、f（3）、f（4）的大小关系可得答案．
| ex |
| x2 |
| ex |
| x2 |
解答：
解：由题意知a＞0，则ax2≥ex化为a≥
，
令f（x）=
，则f′（x）=
，
当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）递增．
∴f（x）min=f（2）=
，
又f（1）=e，f（3）=
，f（4）=
，且f（4）＞f（1）＞f（3），
不等式ax2≥ex的解集中的正整数解有且只有3个，
∴e≤a≤
，即实数a的取值范围是[e，
]，
故答案为：[e，
]．
| ex |
| x2 |
令f（x）=
| ex |
| x2 |
| ex(x-2) |
| x3 |
当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）递增．
∴f（x）min=f（2）=
| e2 |
| 4 |
又f（1）=e，f（3）=
| e3 |
| 9 |
| e4 |
| 16 |
不等式ax2≥ex的解集中的正整数解有且只有3个，
∴e≤a≤
| e4 |
| 16 |
| e4 |
| 16 |
故答案为：[e，
| e4 |
| 16 |
点评：该题考查函数恒成立，考查利用导数研究函数的最值，恰当构造函数借助导数求最值是解题关键．
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