题目内容
定义：我们把椭圆的焦距与长轴的长度之比即e=
，叫做椭圆的离心率．若两个椭圆的离心率e相同，称这两个椭圆相似．
（1）判断椭圆C1：
+
=1与椭圆C2：
+y2=1是否相似？并说明理由；
（2）若椭圆Γ1：
+
=1（a＞2）与椭圆Γ2：
+
=1相似，求a的值；
（3）设动直线l：y=kx+6与（2）中的椭圆Γ1交于M、N两点，试探究：在椭圆Γ1上是否存在异于M、N的定点Q，使得直线QM、QN的斜率之积为定值？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，说明理由．
| c |
| a |
（1）判断椭圆C1：
| x2 |
| 100 |
| y2 |
| 25 |
| x2 |
| 4 |
（2）若椭圆Γ1：
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| 4 |
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 16 |
（3）设动直线l：y=kx+6与（2）中的椭圆Γ1交于M、N两点，试探究：在椭圆Γ1上是否存在异于M、N的定点Q，使得直线QM、QN的斜率之积为定值？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）分别求出椭圆C1和椭圆C2的离心率，由此能求出椭圆C1与椭圆C2相似．
（2）由题意知
=
，由此能求出a的值．
（3）设M（x1，y1）、N（x2，y2）、Q（x0，y0）、常数λ，y=kx+6代入
+
=1，得（1+2k2）x2+24kx+64=0，由此利用韦达定理结合题设条件能求出定点Q的坐标．
（2）由题意知
| ||
| a |
| ||
| 4 |
（3）设M（x1，y1）、N（x2，y2）、Q（x0，y0）、常数λ，y=kx+6代入
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
解答：
解：（1）椭圆C1：
+
=1的离心率e1=
=
，
椭圆C2：
+y2=1的离心率e2=
=
，
∵e1=e2=
，∴椭圆C1：
+
=1与椭圆C2：
+y2=1相似．…（4分）
（2）∵椭圆Γ1：
+
=1（a＞2）与椭圆Γ2：
+
=1相似，
∴
=
，
解得a=2
．…（8分）
（3）设M（x1，y1）、N（x2，y2）、Q（x0，y0）、常数λ，
y=kx+6代入
+
=1，得（1+2k2）x2+24kx+64=0，…（10分）
则△＞0，
，
代入
•
=λ，
整理得2(λ
-
+4)k2+24λx0k+(λ
-
+12y0+64λ-36)=0，…（12分）
由λ
-
+4=λx0=λ
-
+12y0+64λ-36=0，…（14分）
得λ=1，Q（0，-2）或λ=
，Q（0，2）．…（16分）
| x2 |
| 100 |
| y2 |
| 25 |
| ||
|
| ||
| 2 |
椭圆C2：
| x2 |
| 4 |
| ||
|
| ||
| 2 |
∵e1=e2=
| ||
| 2 |
| x2 |
| 100 |
| y2 |
| 25 |
| x2 |
| 4 |
（2）∵椭圆Γ1：
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| 4 |
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 16 |
∴
| ||
| a |
| ||
| 4 |
解得a=2
| 2 |
（3）设M（x1，y1）、N（x2，y2）、Q（x0，y0）、常数λ，
y=kx+6代入
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
则△＞0，
|
代入
| y1-y0 |
| x1-x0 |
| y2-y0 |
| x2-x0 |
整理得2(λ
| x | 2 0 |
| y | 2 0 |
| x | 2 0 |
| y | 2 0 |
由λ
| x | 2 0 |
| y | 2 0 |
| x | 2 0 |
| y | 2 0 |
得λ=1，Q（0，-2）或λ=
| 1 |
| 4 |
点评：本题考查椭圆相似的判断，考查实数值的求法，考查满足条件的点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
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