Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四边形，且AA₁⊥底面ABCD，AB=2，AA₁=BC=4，∠ABC=60°，点E为BC中点，点F为B₁C₁中点．
（1）求证：平面A₁ED⊥平面A₁AEF；
（2）设二面角A₁-ED-A的大小为α，直线AD与平面A₁ED所成的角为β，求sin（α+β）的值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）由已知中AB=2，BC=4，∠ABC=60°，点E为BC中点，我们易得到∠AEB=60°，∠CED=30°，进而得到AE⊥ED，又由AA₁⊥底面ABCD，得AA₁⊥ED，结合线面垂直的判定定理得到ED⊥平面AA₁EF，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面A₁ED⊥平面A₁AEF．
（2）过A作A₁E的垂线，垂足为H，连结HD，由已知条件推导出∠A₁ED为二面角A₁-ED-A的平面角α，∠ADH为直线AD与平面A₁ED所成的角β，由此能求出sin（α+β）=1．

解答： （1）证明：∵AB=2，BC=4，∠ABC=60°，点E为BC中点，
∴△ABC为等边三角形，∠AEB=60°，
△CDE中，∠CED=30°，∴AE⊥ED，
∵AA₁⊥底面ABCD，∴AA₁⊥ED，
又由AE∩AA₁=A，∴ED⊥平面AA₁EF，
又∵ED?平面A₁ED，
∴平面A₁ED⊥平面A₁AEF．
（2）∵ED⊥平面A₁AEF，∴A₁E⊥ED，AE⊥ED，
∴∠A₁ED为二面角A₁-ED-A的平面角，∴∠A₁EA=α，
∴sinα=

AA1

A1E

=

2 5

5

，cosα=

5

5

，
过A作A₁E的垂线，垂足为H，连结HD，
∵ED⊥平面A₁AEF，∴ED⊥AH，
∴AH⊥平面A₁ED，
∴∠ADH为直线AD与平面A₁ED所成的角β，即∠ADH=β，
∴AH=

4 5

5

，sinβ=

5

5

=cosα，
∴α+β=90°，
∴sin（α+β）=1．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的求法及其应用，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．