题目内容
设函数f（x）=
，其中a为正实数，若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．
| ex |
| 1+ax |
考点：函数单调性的性质
专题：导数的综合应用
分析：求函数的导数，利用函数为单调函数，单调函数的f′（x）≥0或f'（x）≤0恒成立即可得到结论．
解答：
解：∵f（x）=
，
∴f′（x）=
，
要使f（x）为R上的单调函数，则f（x）为R上的单调增函数，或f（x）为R上的单调减函数；
①若f（x）为R上的单调增函数，
则f′（x）=
≥0恒成立，
即1+ax-axlna≥0，
∴lna≤
=1+
，
∴lna≤1，解得0＜a≤e；
②若若f（x）为R上的单调减函数，
则f′（x）=
≤0恒成立，
即1+ax-axlna≤0，
∴lna≥
=1+
，
此时不可能恒成立，
综上0＜a≤e．
| ex |
| 1+ax |
∴f′（x）=
| ex(1+ax-axln?a) |
| (1+ax)2 |
要使f（x）为R上的单调函数，则f（x）为R上的单调增函数，或f（x）为R上的单调减函数；
①若f（x）为R上的单调增函数，
则f′（x）=
| ex(1+ax-axln?a) |
| (1+ax)2 |
即1+ax-axlna≥0，
∴lna≤
| 1+ax |
| ax |
| 1 |
| ax |
∴lna≤1，解得0＜a≤e；
②若若f（x）为R上的单调减函数，
则f′（x）=
| ex(1+ax-axln?a) |
| (1+ax)2 |
即1+ax-axlna≤0，
∴lna≥
| 1+ax |
| ax |
| 1 |
| ax |
此时不可能恒成立，
综上0＜a≤e．
点评：本题主要考查导数和函数单调性之间的关系，考查学生的计算能力．
练习册系列答案
相关题目
已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜
）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（ ）
| π |
| 2 |
A、2，-
| ||
B、2，-
| ||
C、4，-
| ||
D、4，
|
如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AA1⊥底面ABCD，AB=2，AA1=BC=4，∠ABC=60°，点E为BC中点，点F为B1C1中点．