题目内容
如图，四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上任一点．（Ⅰ）求证：无论E点取在何处恒有BC⊥DE；
（Ⅱ）设
| SE |
| EB |
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下求二面角A-DE-C的大小．
考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的性质
专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角
分析：（Ⅰ）先证明BC⊥BD，SD⊥BD，可得BC⊥平面SBD，即可证明无论E点取在何处恒有BC⊥DE；
（Ⅱ）建立坐标系，设E（x，y，z），由
=λ
，求出E的坐标，求出平面SBC的一个法向量、平面EDC的一个法向量，利用平面EDC⊥平面SBC，可得
•
=2-λ=0，即可求λ的值；
（Ⅲ）当λ=2时，E（
，
，
），同理可求平面ADE的一个法向量
=（0，1，1），取平面CDE的一个法向量．利用向量的夹角公式，即可求二面角A-DE-C的大小．
（Ⅱ）建立坐标系，设E（x，y，z），由
| SE |
| EB |
| n1 |
| n2 |
（Ⅲ）当λ=2时，E（
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| m1 |
解答：
（Ⅰ）证明：∵AD⊥DC，AB=AD=1，DC=2，
∴BC⊥BD，
∵SD⊥底面ABCD，
∴SD⊥BD，
∵BD∩SD=D，
∴BC⊥平面SBD，
∵DE?面SBD，
∴无论E点取在何处恒有BC⊥DE；
（Ⅱ）解：建立如图所示的坐标系，设E（x，y，z），则
∵
=λ
，∴（x，y，z-2）=λ（1-x，1-y，-z），
∴E（
，
，
），
设平面SBC的一个法向量为
=（a，b，c），则
∵
=（0，2，-2），
=（1，1，-2），
∴
，取平面SBC的一个法向量
=（1，1，1），
同理可求平面EDC的一个法向量
=（2，0，-λ），
∵平面EDC⊥平面SBC，
∴
•
=2-λ=0，
∴λ=2；
（Ⅲ）解：当λ=2时，E（
，
，
），同理可求平面ADE的一个法向量
=（0，1，1），
取平面CDE的一个法向量
=（1，0，-1），则cosθ=
=
，
∴二面角A-DE-C为120°．
∴BC⊥BD，
∵SD⊥底面ABCD，
∴SD⊥BD，
∵BD∩SD=D，
∴BC⊥平面SBD，
∵DE?面SBD，
∴无论E点取在何处恒有BC⊥DE；
（Ⅱ）解：建立如图所示的坐标系，设E（x，y，z），则
∵
| SE |
| EB |
∴E（
| λ |
| 1+λ |
| λ |
| 1+λ |
| 2 |
| 1+λ |
设平面SBC的一个法向量为
| n2 |
∵
| SC |
| SB |
∴
|
| n2 |
同理可求平面EDC的一个法向量
| n1 |
∵平面EDC⊥平面SBC，
∴
| n1 |
| n2 |
∴λ=2；
（Ⅲ）解：当λ=2时，E（
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| m1 |
取平面CDE的一个法向量
| m2 |
| ||||
|
|
| 1 |
| 2 |
∴二面角A-DE-C为120°．
点评：本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．
练习册系列答案
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