Question

已知函数y=4cos²x+4

3

sinxcosx-2，x∈R．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的最大值及其相对应的x值；
（3）写出函数的单调增区间；
（4）写出函数的对称轴．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性,正弦函数的对称性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由条件利用三角函数的恒等变换求得函数的解析式为y=4sin（2x+

π

6

），可得函数的周期T．
（2）由函数的解析式可得当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z时，函数取得最大值为4，从而得出结论．
（3）令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．
（4）令 2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，求得x的解析式，可得函数的图象的对称轴．

解答： 解：（1）∵函数y=4cos²x+4

3

sinxcosx-2=2+2cos2x+2

3

sin2x-2=4sin（2x+

π

6

），
∴函数的周期T=

2π

2

=π．
（2）由函数的解析式可得当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z时，函数取得最大值为4，
故函数的最大值为4，其相对应的x值为x=kπ+

π

6

．k∈z．
（3）令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
故函数的增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（4）令 2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，求得x=

k

2

π+

π

6

，k∈z，
故函数的图象的对称轴为 x=

k

2

π+

π

6

，k∈z．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性、最值、单调性和对称性，属于中档题．