Question

数列{a_n}的前n项和为，且a_n是S_n和1的等差中项，b_n等差数列．满足b₁=a₁，b₄=S₃
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=

1

bnbn+1

，数列{c_n}的前n项和为T_n，若T_n≤λb_n+1对一切n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由题意可知，S_n=2a_n-1，结合递推公式a₁=S₁，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n=2a_n-1，结合等比数列的通项公式可求由b₁=a₁=1，b₄=1+3d=7，可求公差d，进而可求b_n，
（2）由c_n=

1

bnbn+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），利用裂项求和可求T_n，从而T_n≤λb_n+1对一切n∈N^*恒成立，可转化为

n

2n+1

≤λ（2n+1）对一切n∈N^*恒成立，结合数列的单调性，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵a_n是S_n和1的等差中项，∴S_n=2a_n-1
当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n=2^n-1，S_n=2ⁿ-1．
设{b_n}的公差为d，b₁=a₁=1，b₄=1+3d=7，∴d=2，
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1；
（2）c_n=

1

bnbn+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

n

2n+1

∵T_n≤λb_n+1对一切n∈N^*恒成立，
∴

n

2n+1

≤λ（2n+1）对一切n∈N^*恒成立，
∴λ≥

1

4n+ 1 n +4

．
令f（n）=

1

4n+ 1 n +4

，则f（n）单调递减，
∴λ≥

1

9

．

点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用，数列的递推公式的应用及数列的裂项求和及数列的单调性在数列的最值求解中的应用，难度中等．