Question

已知函数f（x）=

1

3

x3-bx2+2x，x=2是f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[-1，3]时，求f（x）的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用

分析：（I）由f′（x）=x²-2bx+2，x=2是f（x）的一个极值点，得f′（2）=2²--4b+2=0，解得b=

3

2

，从而求出单调区间；
（Ⅱ） 由（1）知：f（x）在[-1，1]，[2，3]递增，在[1，2]递减，得f(1)=

5

6

，f(3)=

3

2

＞f(1)，从而求出区间上的最大值．

解答： 解：（I）f′（x）=x²-2bx+2，
∵x=2是f（x）的一个极值点，
∴f′（2）=2²--4b+2=0，
解得b=

3

2

，
∴f′（x）=x²-3x+2，
令f′（x）＞0，
解得x＜1或x＞2．
∴函数f（x）的单调递增区间是（-∞，1），（2，+∞）；
（Ⅱ） 由（1）知：f（x）在[-1，1]，[2，3]递增，在[1，2]递减，
∴f(1)=

5

6

，f(3)=

3

2

＞f(1)
∴f(x)max=

3

2

．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，求区间上的最值问题，是一道基础题．