Question

已知椭圆C的焦点坐标分别为（

3

，0）（-

3

，0），长轴是短轴的两倍． 
（1）求椭圆C的方程； 
（2）在y的正半轴上是否存在一点P（0，p），过定点P作任意一条直线与椭圆C交于两点S，T，使得

OS

•

OT

为一个定值．若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

c= 3 a=2b a2=b2+c2

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）当过定点P的直线存在斜率k时，设过定点P（0，p）的直线方程为y=kx+p，联立

y=kx+p x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8kpx+4p²-4=0，设S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），由韦达定理求出

OS

•

OT

=x₁x₂+y₁y₂=-1+

5p2-3

4k2+1

，所以当p=

15

5

时，

OS

•

OT

为定值-1，此时点P（0，

15

5

）．当过定点P（0，

15

5

）的直线的斜率不存在时，也成立．由此推导出

OS

•

OT

为定值-1，点P（0，

15

5

）．

解答： 解：（1）∵椭圆C的焦点坐标分别为（

3

，0）（-

3

，0），长轴是短轴的两倍，
∴

c= 3 a=2b a2=b2+c2

，解得a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）当过定点P的直线存在斜率k时，设过定点P（0，p）的直线方程为y=kx+p，
联立

y=kx+p x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8kpx+4p²-4=0，
△＞0，设S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），
则x1+x2=-

8kp

4k2+1

，x1x2=

4p2-4

4k2+1

，
∴y₁y₂=（kx₁+p）（kx₂+p）
=k2x1x2+kp(x1+x2)+p2
=

4k2p2-4k2

4k2+1

-

8k2p2

4k2+1

+p2
=

p2-4k2

4k2+1

，
∴

OS

•

OT

=x₁x₂+y₁y₂=

4p2-4

4k2+1

+

p2-4k2

4k2+1

=

5p2-4k2-4

4k2+1

=-1+

5p2-3

4k2+1

，
∴当5p²-3=0，即p=

15

5

时，

OS

•

OT

为定值-1，
此时点P（0，

15

5

）．
当过定点P（0，

15

5

）的直线的斜率不存在时，S（0，1），T（0，-1），

OS

•

OT

也为定值-1．
综上，

OS

•

OT

为定值-1，点P（0，

15

5

）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查向量的数量积为定值时定点坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．