Question

定义在R上的函数f（x）=f（4-x），且f（2-x）+f（x-2）=0，求f（2012）的值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：将等式f （2-x）+f （x-2）=0的x用x+2代替得到函数为奇函数；利用奇函数化简等式f（x）=f （4-x）；得到函数是周期函数，利用函数的周期求出f（2012）．

解答： 解：∵f （2-x）+f （x-2）=0
∴f（x-2）=-f（2-x）
将x用x+2代替得到f（x）=-f（-x）
∴f（x）为奇函数
∵f（x）=f （4-x）
f（x）=-f（x-4）
将x用x+4代替得f（x+4）=-f（x）
∴f（x+4）=f（x-4）
∴函数以8为周期
∴f（2012）=f（4）=f（0）=0．

点评：本题考查对于抽象函数常通过给已知等式中的自变量赋值得到新等式，研究出函数的性质．