Question

已知椭圆C经过点（

2

，

2

2

），且与双曲线x²-

y2

2

=1共焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于M、N两点，交y轴于P点，且记

PM

=λ₁

PM

，

PN

=λ₂

NF

，求证：λ₁+λ₂为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件设椭圆方程为

x2

3+b2

+

y2

b2

=1，把点（

2

，

2

2

）代入，能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）当l的斜率不为0时，设MN：x=my+

3

，联立

x=my+ 3 x2+4y2=4

，得(m2+4)y2+2

3

my-1=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由此利用韦达定理能求出λ1+λ2=

y1+ 3 m

-y1

+

y2+ 3 m

-y2

=-8．当直线l的斜率为0时，λ₁+λ₂=-8也成立．由此能证明λ₁+λ₂为定值．

解答： （Ⅰ）解：∵双曲线x²-

y2

2

=1的焦点坐标为（±

3

，0），
椭圆C经过点（

2

，

2

2

），且与双曲线x²-

y2

2

=1共焦点，
∴设椭圆方程为

x2

3+b2

+

y2

b2

=1，
把点（

2

，

2

2

）代入，得

2

3+b2

+

1 2

b2

=1，
解得b²=1，a²=4，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）证明：当l的斜率不为0时，设MN：x=my+

3

，
联立

x=my+ 3 x2+4y2=4

，得(m2+4)y2+2

3

my-1=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y1+y2=

-2 3 m

m2+4

，y₁y₂=

-1

m2+4

，
∴λ1+λ2=

y1+ 3 m

-y1

+

y2+ 3 m

-y2

=-2-

3

m

•（

1

y1

+

1

y2

）
=-2-

3

m

•

y1+y2

y1y2

=-8．
当直线l的斜率为0时，M（2，0），N（-2，0），P（0，0），
|PM|=2，|MF|=2-

3

，|PN|=2，|NF|=2+

3

，
∴λ₁+λ₂=-8．
综上，λ₁+λ₂=-8．
∴λ₁+λ₂为定值-8．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两数和为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．