Question

已知抛物线y²=4x的焦点F₁与中心在原点的椭圆C的右焦点重合，且椭圆C过点（1，

2

2

）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点F₁作直线l与椭圆C交于A、B两点，且点T是x轴上的一点，横坐标为2，求|

TA

+

TB

|的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由抛物线y²=4x可得焦点F₁（1，0），可得椭圆的半焦距c=1．设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，把点（1，

2

2

）代入可得：

1

a2

+

1

2b2

=1，又a²=b²+1，即可解得；
（II）（i）当直线l的斜率不存在时，可得A(1，

2

2

)，B(1，-

2

2

)，又T（2，0），即可得出|

TA

+

TB

|=2．
（ii）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），与椭圆的方程联立可化为（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得根与系数的关系．又

TA

=（x₁-2，y₁），

TB

=(x2-2，y2)，即可得出|

TA

+

TB

|2=(x1+x2-4)2+(y1+y2)2，代入换元再利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（I）∵抛物线y²=4x的焦点F₁（1，0）与中心在原点的椭圆C的右焦点重合，
∴椭圆的半焦距c=1．
设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
把点（1，

2

2

）代入可得：

1

a2

+

1

2b2

=1，又a²=b²+1，
解得a²=2，b²=1，
∴椭圆C的标准方程为

x2

2

+y2=1．
（II）（i）当直线l的斜率不存在时，可得A(1，

2

2

)，B(1，-

2

2

)，又T（2，0），
∴|

TA

+

TB

|=|(-1，

2

2

)+(-1，-

2

2

)|=|（-2，0）|=2．
（ii）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），
联立

y=kx-k x2+2y2=2

，化为（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

，
∵

TA

=（x₁-2，y₁），

TB

=(x2-2，y2)，
∴

TA

+

TB

=（x₁+x₂-4，y₁+y₂），
∴|

TA

+

TB

|2=(x1+x2-4)2+(y1+y2)2
=

16(1+k2)2

(1+2k2)2

+

4k2

(1+2k2)2

=4+

10

1+2k2

+

2

(1+2k2)2

，
令t=

1

1+2k2

，可知t∈（0，1]．
∴|

TA

+

TB

|2=2t²+10t+4=2(t+

5

2

)2-

17

2

∈（4，16]，
∴|

TA

+

TB

|∈（2，4]．
综上可得：|

TA

+

TB

|∈[2，4]．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、向量的坐标运算及其数量积的性质、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了换元法、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．