Question

设两数列{a_n}、{b_n}分别满足a_n+1=a_n+2n，b_n+1=b_n+2（n∈N⁺），且a₁=b₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{

1

an+bn

}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由数列递推式利用累加法求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出等差数列{b_n}的通项公式，代入

1

an+bn

，整理后用裂项相消法求数列{

1

an+bn

}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）由a_n+1=a_n+2n，得a_n+1-a_n=2n，
则a₂-a₁=2×1．
a₃-a₂=2×2．
a₄-a₃=2×3．
…
a_n-a_n-1=2（n-1）（n≥2）．
累加得：a_n-a₁=2[1+2+3+…+（n-1）]（n≥2），
∵a₁=1，
∴an=1+2×

(1+n-1)(n-1)

2

=n2-n+1 （n≥2）．
验证n=1时成立．
∴an=n2-n+1；
（2）由b_n+1=b_n+2，即b_n+1-b_n=2，且b₁=1，
∴b_n=b₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
则

1

an+bn

=

1

n2-n+1+2n-1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Sn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查了由累加法求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．