Question

某厂生产一种内径为105mm的零件，为了检查该生产流水线的质量情况，随机抽取该流水线上50个零件作为样本测出它们的内径长度（单位：mm），长度的分组区间为[90，95），[95，100），[100，105），[105，110），[110，115），由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．已知内径长度在[100，110）之间的零件被认定为一等品，在[95，100）或[110，115）之间的零件被认定为二等品，否则认定为次品．
（1）从上述样品中随机抽取1个零件，求恰好是一个次品的概率；
（2）以上述样本数据来估计该流水线的总体数据，若从流水线上（产品众多）任意抽取3个零件，设一等品的数量为X，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图

专题：概率与统计

分析：（1）根据频率分布直方图的矩形面积等于该组的概率，累加长度在[9，115）之间的频率，进而根据累积频率为1，可得答案；
（2）由频率分布直方图中各组的频率，分别算出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3）的值，即可得到随机变量X的分布列，然后代入数学期望公式，可进而求出数学期望．

解答： 解：（1）在[100，110）上的矩形面积为（0.032+0.08+0.06+0.02）×5=0.96，
1-0.96=0.04
∴估计从该流水线上任取一件产品，恰好为一个次品的概率为0.04；
（2）由题意知，X的取值为0，1，2，3，
∵上述样品中随机抽取1个零件，恰为一等品的概率为：（0.08+0.06）×5=0.7，
P（X=0）=C₃⁰×0.3³=0.027，
P（X=1）=C₃¹×0.7×0.3²=0.189，
P（X=2）=C₃²×0.7²×0.3=0.441，
P（X=3）=C₃³×0.7³=0.343．
故随机变量X的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	0.027	0.189	0.441	0.343

∴E（X）=1×0.189+2×0.441+3×0.343=2.09

点评：本题主要考查了离散型随机变量的期望和分布列，以及频率分布直方图，同时考查了识图能力，属于中档题．