Question

已知等差数列{a_n}中，a₁=1，a₃=-3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的前k项和S_k=-35，求k的值；
（3）设b_n=2ⁿ•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用等差数列的前n项和公式即可得出；
（3）利用“错位相减法”、等比数列前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）设公差为d，则a₃=a₁+2d=-3，
∴1+2d=-3，
解得d=-2．
∴a_n=1-2（n-1）=3-2n．
（2）Sn=

n(a1+an)

2

=

n(1+3-2n)

2

=-n²+2n，
∵S_k=-35，
∴-k²+2k=-35，
化为k²-2k-35=0，
解得k=7．
∴k=7．
（3）b_n=2ⁿ•a_n=（3-2n）•2ⁿ，
∴T_n=1×2¹-2²-3•2³-…-（2n-3）•2ⁿ，
2T_n=2²-2³-3×2⁴-…-（2n-5）•2ⁿ-（2n-3）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2-2×2²-2×2³-…-2•2ⁿ+（2n-3）•2ⁿ⁺¹
=6-2（2+2²+2³+…+2ⁿ）+（2n-3）•2ⁿ⁺¹，
=6-2×

2(2n-1)

2-1

+（2n-3）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=-10+2ⁿ⁺²+（3-2n）•2ⁿ⁺¹．

点评：本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．