Question

已知矩阵A=

3 a 0 -1

，a∈R，若点P（2，-3）在矩阵A的变换下得到点P′（3，3）．
（1）则求实数a的值；
（2）求矩阵A的特征值及其对应的特征向量．

Answer 1

考点：不等式的证明,特征值与特征向量的计算

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（1）由题意，

3 a 0 -1

2 -3

=

3 3

，即可求出实数a的值；
（2）先求出矩阵M的特征多项式，进而可求矩阵M的特征值．利用方程组可求相应的特征向量．

解答： 解：（1）由题意，

3 a 0 -1

2 -3

=

3 3

，
∴6-3a=3，
∴a=1；
（2）f（λ）=

.

λ-3 -1 0 λ+1

.

=（λ-3）（λ+1）=0，
∴特征值λ₁=3，λ₂=-1
当λ₁=3时，解得0•x+y=0
所以矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为

1 0

．
当λ₂=-1时，解得-4x-y=0，
所以矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为

1 -4

．

点评：本题考查矩阵的性质和应用、特征值与特征向量的计算，解题时要注意特征值与特征向量的计算公式的运用．