Question

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，a_n-a_n-1=n，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）在△ABC中，AB=a₃，cosC=

1

a2

，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：

分析：（Ⅰ）根据已知等式得出a_n-a_n-1=n，a_n-1-a_n-2=n-1，a_n-2-a_n-3=n-2，…，a₂-a₁=2，左右两边分别相加即可确定出数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）由通项公式a_n，确定出AB与cosC，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出a+b的最大值，即可确定出三角形ABC周长的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）在数列{a_n}中，a₁=1，
a_n-a_n-1=n，a_n-1-a_n-2=n-1，a_n-2-a_n-3=n-2，…，a₂-a₁=2，
相加得：a_n-a_n-1+a_n-1-a_n-2+a_n-2+a_n-3+…+a₂-a₁=n+n-1+n-2+…+2，
即a_n-a₁=

n(n+1)

2

-1，
则数列{a_n}的通项公式a_n=

n(n+1)

2

；
（Ⅱ）在△ABC中，AB=c=a₃=6，cosC=

1

a2

=

1

3

，
∴由余弦定理得：36=a²+b²-2abcosC=a²+b²-

2

3

ab=（a+b）²-

8

3

ab≥（a+b）²-

8

3

×

(a+b)2

4

=

1

3

（a+b）²，
整理得：（a+b）²≤108，即a+b≤6

3

，
则△ABC周长最大值为6+6

3

．

点评：此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，以及数列的递推，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．