Question

设p（x）=a₁

C

0 n

（2-x）ⁿ+a₂

C

1 n

x（2-x）^n-1+a₃

C

2 n

x²（2-x）^n-2+…+a_n

C

n-1 n

x^n-1（2-x）+a_n+1

C

n n

xⁿ．
（Ⅰ）若数列{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，求p（-

1

2

）的值；
（Ⅱ）若数列{a_n}是首项为1，公差为3的等差数列，求证：p（x）是关于x的一次多项式．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：综合题,二项式定理

分析：（Ⅰ）由题意a_n=3^n-1，结合二项式定理，即可求p（-

1

2

）的值；
（Ⅱ）由题意a_n=3n-2，结合二项式定理，可得p（x）=3n•2^n-1x+2ⁿ，即可证明结论．

解答： （Ⅰ）解：由题意a_n=3^n-1，
∴p（x）=

C

0 n

（2-x）ⁿ+

C

1 n

（3x）（2-x）^n-1+

C

2 n

（3x）²（2-x）^n-2+…+

C

n n

（3x）ⁿ=（2+2x）ⁿ，
∴p（-

1

2

）=1；
（Ⅱ）证明：由题意a_n=3n-2，则
p（x）=[

C

0 n

（2-x）ⁿ+

C

1 n

x（2-x）^n-1+

C

2 n

x²（2-x）^n-2+…+

C

n n

xⁿ]+3[

C

1 n

x（2-x）^n-1+2

C

2 n

x²（2-x）^n-2+…+n

C

n n

xⁿ]，
∵

C

0 n

（2-x）ⁿ+

C

1 n

x（2-x）^n-1+

C

2 n

x²（2-x）^n-2+…+

C

n n

xⁿ=2ⁿ，k•

C

k n

=n•

C

k-1 n-1

，
∴

C

1 n

x（2-x）^n-1+2

C

2 n

x²（2-x）^n-2+…+n

C

n n

xⁿ=nx[

C

0 n-1

（2-x）^n-1+

C

1 n-1

x（2-x）^n-2+…+

C

n-1 n-1

xⁿ]=n•2^n-1x，
∴p（x）=3n•2^n-1x+2ⁿ，
∴p（x）是关于x的一次多项式．

点评：本题考查二项式定理，考查学生的计算能力，属于中档题．