Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n+S_n=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足：b_n=

1

an

+1，又c_n=

1

an+1bnbn+1

，且数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜

2

3

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n+S_n=1，得a_n-1+S_n-1=1（n≥2），a₁+S₁=1，由此能求出数列{a_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，从百求出a_n=

1

2n

．
（2）由（1）知b_n=

1

an

+1=2ⁿ+1，所以c_n=

1

an+1bnbn+1

=2（

1

2n+1

-

1

2n+1+1

），由此利用裂项求和法能证明T_n＜

2

3

．

解答： （1）解：由a_n+S_n=1，得a_n-1+S_n-1=1（n≥2），
两式相减并整理得

an

an-1

=

1

2

（n≥2），
又a₁+S₁=1，解得a₁=

1

2

，
∴数列{a_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，
∴a_n=

1

2n

．
（2）证明：由（1）知b_n=

1

an

+1=2ⁿ+1，
∴c_n=

1

an+1bnbn+1

=

2n+1

(2n+1)(2n+1+1)

=2（

1

2n+1

-

1

2n+1+1

），
∴T_n=2（

1

2+1

-

1

22+1

+

1

22+1

-

1

23+1

+…+

1

2n+1

-

1

2n+1+1

）
=2（

1

3

-

1

2n+1+1

）＜

2

3

．
∴T_n＜

2

3

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．