Question

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内任取一点P，则点P到点A的距离小等于a的概率为（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  2

  2

  π
• C、

  1

  6

• D、

  1

  6

  π

Answer 1

考点：几何概型

专题：空间位置关系与距离

分析：由题意可得，点A距离等于a的点的轨迹是一个八分之一个球面，求出其体积，再根据几何概型概率公式结合正方体的体积的方法求解即可．

解答： 解：由由题意可得正方形的体积为a³，
与点A距离等于a的点的轨迹是一个八分之一个球面，体积为V₁=

1

8

×

4

3

πa3，
则点P到点A的距离小于等于a的概率为：

πa3 6

a3

=

π

6

故选D．

点评：本小题主要考查几何概型、几何概型的应用、几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、化归与转化思想．属于基础题．