Question

已知椭圆C方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），左、右焦点分别是F₁，F₂，若椭圆C上的点P（1，

3

2

）到F₁，F₂的距离和等于4．
（Ⅰ）写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点Q是椭圆C的动点，求线段F₁Q中点T的轨迹方程；
（Ⅲ）直线l过定点M（0，2），且与椭圆C交于不同的两点A，B，若∠AOB为锐角（O为坐标原点），求直线l的斜率k0的取值范围．

Answer 1

考点：轨迹方程,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由题意得到椭圆的半长轴长，把点P的坐标代入椭圆方程求得b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设出Q和T的坐标，由中点坐标公式把Q的坐标用T的坐标表示，代入椭圆方程可得线段F₁Q中点T的轨迹方程；
（Ⅲ）联立直线和椭圆方程，化为关于x的应用二次方程，由判别式大于0及

OA

•

OB

＞0求解直线l的斜率的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得：2a=4，得a=2，
又点P（1，

3

2

）在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1上，
∴

1

4

+

3 4

b2

=1，解得b²=1．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1，焦点F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)；
（Ⅱ）设椭圆上的动点Q（x₀，y₀），线段F₁Q中点T（x，y），
由题意得：

x= - 3 +x0 2 y= y0 2

，得

x0=2x+ 3 y0=2y

，代入椭圆的方程得

(2x+ 3 )2

4

+(2y)2=1，
即(x+

3

2

)2+4y2=1为线段F₁Q中点T的轨迹方程；
（Ⅲ）由题意得直线l的斜率存在且不为0，
设l：y=kx+2，代入

x2

4

+y2=1整理，
得（1+4k²）x²+16kx+12=0，
△=（16k）²-4（1+4k²）•12=16（4k²-3）＞0，得k2＞

3

4

　 …①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x1+x2=-

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

．
∵∠AOB为锐角，
∴cos∠AOB＞0，则

OA

•

OB

=x1x2+y1y2＞0，
又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2+4)．
∴x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4
=(1+k2)•

12

1+4k2

+2k•(-

16k

1+4k2

)+4
=

4(4-k2)

1+4k2

＞0，
∴k²＜4 …②
由①、②得

3

4

＜k2＜4．
∴k的取值范围是(-2，-

3

2

)∪(

3

2

，2)．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了代入法求曲线的关键方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常用直线和圆锥曲线联立，利用一元二次方程根与系数关系解题，考查了学生的计算能力，是压轴题．