Question

设关于x的不等式：

x+1

k

≥1+

2x-4

k2

．
（1）解此不等式；
（2）若2∈{x|

x+1

k

≥1+

2x-4

k2

}，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：计算题,分类讨论,不等式的解法及应用

分析：（1）化简不等式，得到（k-2）x≥k²-k-4，讨论k=2，k＞2，k＜2，解不等式，即可得到解集；
（2）由条件讨论k=2，k＞2，k＜2，得到不等式组，解出它们，再求并集即可．

解答： 解：（1）

x+1

k

≥1+

2x-4

k2

⇒k(x+1)≥k2+2x-4，
即有（k-2）x≥k²-k-4，
所以①当k=2时，不等式的解为R；
②当k＞2时，不等式的解为x≥

k2-k-4

k-2

，即解集为：[

k2-k-4

k-2

，+∞）；
③当k＜2且k≠0时，不等式的解为x≤

k2-k-4

k-2

，即解集为：（-∞，

k2-k-4

k-2

]；
（2）由于2∈{x|

x+1

k

≥1+

2x-4

k2

}，
所以k=2符合；结合（1）可以得到：

k＞2 2≥ k2-k-4 k-2

，解之2＜k＜3；
或

k＜2 2≤ k2-k-4 k-2

，解之0＜k＜2．
综上k∈（0，3）．

点评：本题考查含参不等式的解法，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．