Question

1．已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且cosC=-$\frac{1}{4}$，c=4，$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{2}{3}$
（I）求a，b的值以及△ABC的面积；
（Ⅱ）记AD为A的角平分线且交BC 于D，求AD的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦、余弦定理列出方程组，求出b和a的值，再计算△ABC的面积；
（Ⅱ）根据角平分线定理求得CD的值，再由余弦定理求得AD的值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，cosC=-$\frac{1}{4}$，c=4，$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{2}{3}$，
由正弦定理得$\frac{a}{b}$=$\frac{2}{3}$，∴a=$\frac{2}{3}$b；
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC
=$\frac{4}{9}$b²+b²-2×$\frac{2}{3}$b×b×（-$\frac{1}{4}$）
=$\frac{16}{9}$b²=16，
解得b=3，∴a=2；
∴△ABC的面积为
S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×2×3×$\sqrt{1{-（-\frac{1}{4}）}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$；
（Ⅱ）如图所示，

根据角平分线定理得，$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{4}$，
∴CD=BC×$\frac{3}{7}$=$\frac{6}{7}$；
由余弦定理得AD²=AC²+CD²-2AC•CD•cosC
=3²+${（\frac{6}{7}）}^{2}$-2×3×$\frac{6}{7}$×（-$\frac{1}{4}$）
=$\frac{540}{49}$，
∴AD=$\frac{6\sqrt{15}}{7}$．

点评 本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了求三角形的面积以及角平分线长的应用问题，是综合题．