Question

11．已知直线x+ay-1=0与圆C：（x+a）²+（y-1）²=1相交于A、B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a=$±\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先求出圆心C（-a，1）到直线l的距离d=$\frac{1}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$，且圆半径r=1，由△ABC为等腰直角三角形，得d²+d²=r²，由此能求出a的值．

解答 解：∵直线x+ay-1=0与圆C：（x+a）²+（y-1）²=1相交于A、B两点，
∴圆心C（-a，1）到直线l的距离d=$\frac{|-a+a-1|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$，且圆半径r=1，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴d²+d²=r²，即$\frac{2}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=1，
解得a=$±\sqrt{3}$．
故答案为：$±\sqrt{3}$．

点评 本题考查实数值的求法，考查圆、直线方程、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．