Question

17．已知数列{a_n}是公比为2的等比数列，且a₂，a₃+1，a₄成等差数列．
（ I）求数列{a_n}的通项公式；
（ II）记b_n=a_n+log₂a_n+1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （ I ）由题意可得2（a₃+1）=a₂+a₄，由公比为2，把a₃、a₄用a₂表示，求得a₂，进一步求出a₁，数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）利用已知条件转化求出数列的通项公式，然后求解数列的和即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得2（a₃+1）=a₂+a₄，
即2（2a₂+1）=a₂+4a₂，解得：a₂=2．
∴a₁=$\frac{{a}_{2}}{2}$=1．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1．
（Ⅱ）b_n=a_n+log₂a_n+1=2^n-1+n，
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=（1+2+3+…+n）+（20+2¹+2²+…+2^n-1）
=$\frac{n（n+1）}{2}+\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$
=$\frac{n（n+1）}{2}+{2}^{n}-1$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．