Question

13．设x，y∈R，向量$\overrightarrow a=（{x，2}）$，$\overrightarrow b=（{1，y}）$，$\overrightarrow c=（{2，-6}）$，且$\overrightarrow a⊥\overrightarrow c$，$\overrightarrow b∥\overrightarrow c$，则$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$=$5\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，若$\overrightarrow a⊥\overrightarrow c$，由向量垂直的判定方法可得2x+2×（-6）=0，解可得x的值，即可得$\overrightarrow{a}$的坐标，若$\overrightarrow b∥\overrightarrow c$，由向量平行的坐标表示公式可得2y=1×（-6），解可得y的值，即可得$\overrightarrow{b}$的坐标，由向量加法的坐标计算公式可得$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，向量$\overrightarrow a=（{x，2}）$，$\overrightarrow b=（{1，y}）$，$\overrightarrow c=（{2，-6}）$，
若$\overrightarrow a⊥\overrightarrow c$，则有2x+2×（-6）=0，解可得x=6，即$\overrightarrow{a}$=（6，2），
若$\overrightarrow b∥\overrightarrow c$，则有2y=1×（-6），解可得y=-3，即$\overrightarrow{b}$=（1，-3），
则$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（7，-1），
则$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$=$\sqrt{49+1}$=$5\sqrt{2}$；
故答案为：5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查向量的数量积的计算，关键是求出$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的坐标．