Question

15．{a_n}是公差不为0的等差数列，{b_n}是公比为正数的等比数列，a₁=b₁=1，a₄=b₃，a₈=b₄，则数列{a_nb_n}的前n项和等于（n-1）2ⁿ+1．

Answer 1

分析 通过设{a_n}的公差为d（d≠0），{b_n}的公比为q（q＞0），利用已知条件联立方程组可求出d和q，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：设{a_n}的公差为d（d≠0），{b_n}的公比为q（q＞0），
则由a₁=b₁=1可知：a_n=1+（n-1）d，b_n=q^n-1，
又∵a₄=b₃，a₈=b₄，
∴1+3d=q²，1+7d=q³，
∴（1+3d）³=（1+7d）²，整理得27d²-22d-5=0，
解得：d=1或d=-$\frac{5}{27}$（舍），q=2，
∴a_n=n，b_n=2^n-1，
记c_n=a_nb_n=n•2^n-1，数列{c_n}的前n项和为S_n，
则S_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1，
2S_n=1•2¹+2•2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
两式相减，得：-S_n=2⁰+2¹+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ=-（n-1）2ⁿ-1，
所以S_n=（n-1）2ⁿ+1，
故答案为：（n-1）2ⁿ+1．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．