题目内容
在数列{an}中，a1+
+
+…+
=9-6n（r是非零常数），求数列{an}的通项公式和前n项和．
| a2 |
| r |
| a3 |
| r2 |
| an |
| rn-1 |
考点：数列的求和
专题：等差数列与等比数列
分析：当n=1时，可求得a1=3，当n≥2时，分r=1与r≠1讨论，可求得数列{an}的通项公式，继而可求得其前n项和．
解答：
解：令n=1可得a1=9-6×1=3；
①当r=1时，a1+a2+…+an=9-6n，
所以a1+a2+…+an-1=9-6（n-1）=15-6n（n≥2），
两式相减得：an=9-6n-（15-6n）=-6（n≥2）；
但an=-6不满足a1=3，
所以a1=3，故an=
．
此时，Sn=a1+a2+…+an=9-6n；
②当r≠1时，a1+
+
+…+
=9-6n，
所以a1+
+
+…+
=9-6（n-1）=15-6n（n≥2），
两式相减得：
=9-6n-（15-6n）=-6，
所以an=-6×rn-1（n≥2），
但an=-6不满足a1=3，所以a1=3，
故an=
．
所以Sn=a1+a2+…+an=3+（-6）×r+（-6）×r2+（-6）×r3+…+（-6）×rn-1
=3-6×（r+r2+r3+…+rn-1）
=3-6[
]=3-
．
①当r=1时，a1+a2+…+an=9-6n，
所以a1+a2+…+an-1=9-6（n-1）=15-6n（n≥2），
两式相减得：an=9-6n-（15-6n）=-6（n≥2）；
但an=-6不满足a1=3，
所以a1=3，故an=
|
此时，Sn=a1+a2+…+an=9-6n；
②当r≠1时，a1+
| a2 |
| r |
| a3 |
| r2 |
| an |
| rn-1 |
所以a1+
| a2 |
| r |
| a3 |
| r2 |
| an-1 |
| rn-2 |
两式相减得：
| an |
| rn-1 |
所以an=-6×rn-1（n≥2），
但an=-6不满足a1=3，所以a1=3，
故an=
|
所以Sn=a1+a2+…+an=3+（-6）×r+（-6）×r2+（-6）×r3+…+（-6）×rn-1
=3-6×（r+r2+r3+…+rn-1）
=3-6[
| r(1-rn-1) |
| 1-r |
| 6r-6rn |
| 1-r |
点评：本题考查数列的递推关系与数列的求和，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，考查运算推理能力，属于难题．
练习册系列答案
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